多次元とはなんぞや？

平面世界に存在する図形が二次元（数学的な意味で）、空間に存在する図形が三次元であるのは誰でもわかることなんですが、じゃあ四次元ってなんだよと思うでしょう。前に紹介したDimentionsの動画を見た人なら多少分かると思いますけど。
代数学的な考え方だと「座標を表現するのに四つの数字が必要な空間」となります。なんかサッパリですね。もうちょっとなんとかならないでしょうか。
とりあえず三角形について考えてみましょう。二次元平面で三角形は面を構成する最小の頂点の数を持つ図形です。わかりやすく言うと角張ったところが一番少ない形です。これを三次元に拡張すると四つの頂点を持つ四面体となります。だったら、それを四次元に拡張するときは五つの頂点を持つ物体になるのでは……？と考えた数学者がいたとかいないとか。実際に描いてみたらこんな感じになりました。

「え？なんか内部に面が混じってね？」と思うのは三次元空間（画像は二次元ですが）で四次元の立体を表現しようとしているからです。紙に立体を描こうとしてもどうがんばっても辺が交差しないように描けないのと同じです。ちなみにこれは五胞体と言うそうです
よく見ると中に四面体が五つあるのが分かります。四次元空間で実際手に取ってみたらどんな感じなのか想像したいですね
あと疑問に思ったのですが、三次元の立体を展開すると二次元の図形になりますが、四次元の立体を展開したら三次元になるんでしょうか。なんか謎です。

四次元の世界が存在したら、三次元に飢えるヲタク共が出てくるのだろうか